คณิตศาสตร์ ม.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย

คณิตศาสตร์ ม.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย

คณิตศาสตร์ ม.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย
กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกับฐาน และเส้นตรงที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบฐานเป็นส่วนของเส้นตรง



พื้นที่ของกรวย
การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทําได้โดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแล้วคลี่แผ่ออกจะเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง



ปริมาตรของกรวย
ความสัมพันธ์ของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธ์ของปริซึมกับพีระมิด ที่มีส่วนสูงและพื้นที่ฐานเท่ากัน นั่นคือ

ปริมาตรของกรวย เป็น 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและส่วนสูงเท่ากับกรวย



ตัวอย่างข้อสอบและแบบฝึกหัด

- จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร

- จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร

- จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 8 เซนติเมตร (ตอบในรูป π)

- แท่งไม้ทรงกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้

- กรวยอันหนึ่งสูง 1 ฟุต มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 5 ฟุต 10 นิ้ว จงหาปริมาตรของกรวยนี้

- กรวยอันหนึ่งมีสูงเอียงยาว 17 ซม. และมีรัศมีของฐานยาว 8 ซม. กรวยนี้จะมีปริมาตรเท่าใด

- กรวยอันหนึ่งสูงเอียง 13 ซม. และสูง 12 ซม. จงหาพื้นที่ผิวของกรวย

- จงหาปริมาตรของกรวยขนาดใหญ่ที่สุดที่สามารถบรรจุภายในพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 15 ซม. โดยมีจุดยอดร่วมกันพีระมิดสูง 14 ซม.

- ปล่องโรงงานมีรูปร่างเป็นกรวยมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 90 ซม. สูง 60 ซม. จงหาสูงเอียง และพื้นที่ผิวข้าง

- ถ้วยกระดาษรูปกรวยมีรัศมีของฐานยาว 7 ซม. และสูง 12 ซม. ถ้าใช้ถ้วยรูปกรวยนี้ตักน้้าใส่ขวดซึ่งจุด 9.24 ลิตร จะต้องตักกี่ถ้วย

- กรวยกลมอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 นิ้ว และมีสูงเอียงยาว 25 นิ้ว จะมีปริมาตรเท่าใด

- กระโจมพักแรมของลูกเสือทรงกรวยมีความสูง 2.5 เมตร ฐานกระโจมมีรัศมี 1.4 เมตร ผ้าที่ใช้ท้ากระโจมหลังนี้มีพื้นที่กี่ตารางเมตร

- กรวยตรงและถังทรงกระบอก มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 8 ซม.เท่ากัน ถ้าคว่้ากรวยซึ่งสูง 6 ซม. ลงในถังทรงกระบอกจากนั้นเทน้้าจนพอดียอดกรวยแล้วน้ากรวยออกจากถัง จงหาความสูงของน้้าในถัง

- ถังน้้าทรงกระบอกมีปลายทั้งสองข้างเป็นกรวยขนาดเท่ากันทั้งสองปลายซึ่งความยาวเฉพาะทรงกระบอกและความยาวของกรวยเท่ากับ 15 ฟุต ถ้าถังนี้จุน้้าได้ 3,850ลูกบาศก์ฟุต จงหาความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของหน้าตัดทรงกระบอก

- กรวยตันถูกตัดด้านบนโดยระนาบที่ขนานกับฐาน ท้าให้รัศมีด้านบนของรอยตัดยาว 6 ซม. ถ้ารัศมีของฐานยาว 10 ซม. และความสูงจากฐานถึงรอยตัดเท่ากับ 12 ซม. ปริมาตรของส่วนที่เหลือเท่ากับเท่าใด

- กรวยสังกะสีอันหนึ่ง วัดความยาวของสูงเอียงได้ 25 เซนติเมตร ถ้าพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยนี้เป็น 550 ตารางเซนติเมตร กรวยสังกะสีนี้จะมีปริมาตรเท่าไร

- ต้องการท้าหมวกกระดาษรูปกรวย 20 ใบ โดยมีความยาวรอบฐานกรวยเป็น 88 เซนติเมตร สูงเอียง 35 เซนติเมตร จะต้องใช้กระดาษอย่างน้อยที่สุดเท่าไร

- กรวยใบหนึ่งมีพื้นที่ผิวข้าง 4,250 ตารางเซนติเมตร วัดรัศมีของฐานได้ 21 เซนติเมตร พื้นที่ผิวทั้งหมดมีกี่ตารางเซนติเมตร

- ถ้ารัศมีของฐานกรวยตรงเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า โดยที่ความสูงลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง ปริมาตรของกรวยกลมใบใหม่เป็นกี่เท่าของปริมาตรกรวยเดิม